La probabilidad y la estadística son las partes de las matemáticas que se encargan de estudiar los fenómenos aleatorios y de azar. Las cartas son un juego de azar (lamentablemente para los que tenemos suerte abriendo sobres, pero muy mala robando cuando jugamos) y por ello se ven sometidas a las misma leyes que en su día Laplace infirió y que hoy son la base de todos estos tipos de juegos, ya sean siete y media, ruleta o monopoly. Este documento trata de justificar matemáticamente las decisiones que jugadores experimentados toman en base a su experiencia y sus conocimientos adquiridos, pero que de verdad sí que tienen una base matemática detrás.

Un poco de matemáticas

La definición clásica de probabilidad dice que la probabilidad es el número de casos favorables dividido entre el número de casos posibles. Dicho así puede decirnos mucho a los que tenemos la suerte de saber algo de matemáticas y nada a los que no sepan. Un ejemplo.

Imaginad que hubiera una carta en Magic que dijera, por cero (coste de maná convertido) juega esto y ganas la partida, pero sólo puedes llevar una en el mazo. Si los mazos son construidos pues está claro que tendría 1 posibilidad entre 60 de robarla si robo una sola carta, 1 una probabilidad de 40 si el mazo fuera de limitado. Se denomina éxito de un suceso a que dicho suceso ocurra, por lo tanto el robarnos la carta autocombadora sería nuestro éxito.

Conclusión nº 1: No hay cartas en Magic que digan eso, luego habrá otras peores, pero de entre estas peores serán mejores que el resto y habremos de robar nuestras bombas cuanto antes.

Corolario a la Conclusión nº 1: Si hay que robarlas cuanto antes, habrá que reducir el número de cartas de donde podemos robarlas, entonces haremos siempre el mazo de 40 cartas en limitado.

Hasta aquí no hemos tenido que hacer un gran esfuerzo mental, sólo que 1/40 es más grande que 1/41 o que 1/42, etc…

Bayes, ese gran probabilista

Unos pocos años antes de Laplace, apareció un señor dando una serie más de teorías algo más profundas acerca de la probabilidad, pero que no vieron la luz hasta después de su muerte, Thomas Bayes. Vamos a necesitar un par de conceptos algo más complejos que el de la definición clásica de probabilidad para contestar a las preguntas que os planteaba en la introducción.

Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra algo condicionado a la ocurrencia de un suceso previo. Otro ejemplo.

Imaginad que vamos a lanzar dos dados, y el éxito de nuestro suceso es sacar más de 7. Al lanzar ambos a la vez tenemos una probabilidad menor de la mitad de tener éxito, porque no sabemos que va a salir en uno o en otro. Y si uno de los dos dados se cae de la mesa, para nuestra sorpresa en el que no se ha caído vemos un 6 magnífico por lo que en el segundo solo tendremos que obtener un 2 al menos para poder cobrar nuestra apuesta. Esto es, la probabilidad de obtener 7 o más tirando dos dados sabiendo que he sacado un 6 en el primero es 5/6, me valen 2, 3, 4, 5 y 6 entre las seis posibilidades que tengo.

Esto se puede aplicar y se aplica muchas veces a la hora de decidir si quiero darme un mulligan o no en función de las cosas que veo en la mano. Me explico. Si robo mis siete, y me veo dos tierras y cinco hechizos de coste de mana convertido 3, en un mazo monocolor de 40 cartas y 20 tierras (por decir algo), lo lógico es quedarme ya que la probabilidad de robar una tierra en el siguiente robo es de 18/33 que es más de la mitad, y de robarla en el siguiente robo si no lo hice en el anterior es de 18/32. Lo malo de esto es que los ejemplos no son tan claros siempre. Pensad en mazos tricolores como los de Alara (bueno la mayoría de ellos, algo de esto nos cuenta Rubén González) y que los costes no son tan bajos, ahí las matemáticas se empeñan en decir que no, pero nuestros corazones nos invitan a la aventura que suelen ser decepciones y derrotas salvo milagros probabilísticos.

Sólo nos queda un teorema que explicar y estaremos listos para responder a la pregunta de cuantas tierras me meto en el mazo, el teorema de la probabilidad total. Os explico un poco lo que es un diagrama de árbol y seguimos.

Suponed un experimento basado en lanzar dos monedas de forma seguida. Todo el espacio de sucesos queda encuadrado en los cuatro posibles:

Sacar cara en la primera y en la segunda cara también.

Sacar cara en la primera, pero cruz en la segunda.

Sacar cruz en la primera, pero cara en la segunda.

Sacar cruz en ambas

Si las monedas no están trucadas hay un 50% de probabilidades de obtener cara o cruz. El esquema siguiente conocido como diagrama de árbol, resume las probabilidades de todo el espacio sucesos.

De tal forma que si quisiéramos saber cual es la probabilidad de obtener dos caras, lo único que debemos hacer es seguir el camino o caminos que nos llevan hasta el éxito (dos caras en este caso) y multiplicando las probabilidades de las ramas y sumando las de todas las ramas que fueran éxito. En este caso ½ x ½ = ¼, es decir un 25% de probabilidades de éxito. Esto tan sencillo de entender fue lo que Bayes llamó el teorema de la probabilidad total.

La idea es aplicar este mismo razonamiento a una baraja de 40 cartas con 16, 17 y 18 tierras, en tres casos diferenciados, para ver la sensibilidad del resultado al número de tierras que usemos. 16, 17 y 18 son las tierras típicas que se suelen usar.

Nunca menos de 16, ni nunca más de 18. El 17, negro, impar y pasa.

A la vista del siguiente diagrama, simplificado por necesidades de espacio, lo que debemos observar es cual es el camino que nos lleva al éxito.

Imaginaos que no nos gustaría robar ninguna tierra. El único camino posible sería no robar tierra en la primera con una probabilidad de 23/40, no hacerlo en la segunda condicionado a no haberlo hecho en la primera 22/39, no hacerlo en la tercera condicionado a no haberlo hecho en las dos anteriores 21/38, y así sucesivamente hasta las siete cartas de inicio. De tal forma que la probabilidad de robar cero tierras es para cada caso de los comentados:

P₁₆ (no robar tierra) = 24/40 x 23/39 x 22/38 x 21/37 x 20/36 x 19/35 x 18/34 = 1,8%

P₁₇ (no robar tierra) = 23/40 x 22/39 x 21/38 x 20/37 x 19/36 x 18/35 x 17/34 = 1,3%

P₁₈ (no robar tierra) = 22/40 x 21/39 x 20/38 x 19/37 x 18/36 x 17/35 x 16/34 = 0,9%

El suceso contrario se define como el suceso que ocurra cualesquiera de los casos que no sea el estudiado. El suceso contrario de robar ninguna tierra es robar al menos una (pero no sólo una, también valen 2, 3, 4, 5, 6 y 7) y las probabilidades relacionadas son:

P₁₆ (robar al menos una tierra) = 1 – P(no robar ninguna) = 98,2%

P₁₇ (robar al menos una tierra) = 1 – P(no robar ninguna) = 98,7%

P₁₈ (robar al menos una tierra) = 1 – P(no robar ninguna) = 99,1%

Conclusión nº 2: Tanto con 16, 17 y 18 tierras lo normal es que nos robemos al menos una tierra. Las manos sin tierras tienen poca probabilidad de ocurrir.

Corolario la conclusión nº 2: Si suele ocurrirte lo de robar manos sin tierras, deberías buscar un método alternativo de mezcla de la baraja. Yo recomiendo hacer cinco montones, mezclar cada uno entre sí, luego dos de ellos, luego todos juntas. Evitaréis suspicacias y estaréis seguros de haber hecho una buena mezcla.

Pues entonces lo siguiente en el razonamiento sería mirar la probabilidad de robar sólo una tierra, pero sólo una. Acudimos al diagrama de árbol y vemos las ramas que nos conducen al éxito. Ojo que ahora hay más de un camino, ya que sólo nos importa que al voltear las 7 cartas haya una sola tierra y tan bueno es el camino de robarla la primera carta que tomemos del mazo, como de la cuarta, como de la séptima carta que cojamos del mazo.

Entonces hay siete ramas y las probabilidades son (en negrita es el robo de la tierra):

P₁₆ (robar una tierra) = 24/40 x 23/39 x 22/38 x 21/37 x 20/36 x 19/35 x 16/34 x 7 = 11,6%

P₁₇ (robar una tierra) = 23/40 x 22/39 x 21/38 x 20/37 x 19/36 x 18/35 x 17/34 x 7 = 9,2%

P₁₈ (robar una tierra) = 22/40 x 21/39 x 20/38 x 19/37 x 18/36 x 17/35 x 18/34 x 7 = 7,2%

Y siguiendo con los razonamientos anteriores, la probabilidad de robar al menos dos tierras, es la probabilidad del suceso contrario a robar una o ninguna. Esto es la unión de dos sucesos, robar cero y una tierra. Como es una u otra, no tienen intersección, no se dan ambos a la vez,por lo que se puede decir que:

P(robar una o ninguna tierras) = P(robar una tierra) + P(robar cero tierras)

Por lo tanto:

P₁₆ (al menos dos tierras) = 1 – P(robar una o ninguna) = 1 – (1,8 + 11,6) = 86,7%

P₁₇ (al menos dos tierras) = 1 – P(robar una o ninguna) = 1 – (1,3 + 9,2) = 89,5 %

P₁₈ (al menos dos tierras) = 1 – P(robar una o ninguna) = 1 – (0,9 + 7,2) = 91,9%

Observad como los porcentajes ya han variado más sensiblemente, ya que robar al menos dos con 18 nos ocurre más de 9 de cada 10 veces, mientras que con 16 ocurre menos de 9 de cada 10 veces.

No es difícil intuir el siguiente paso. Queremos saber cuantas probabilidades tenemos de robarnos justo dos tierras. En este caso tenemos 21 ramas del árbol que nos llevan al éxito (ya que son combinaciones sin repetición de 7 elementos tomados de 2 en 2, siete cartas robadas, 2 tierras que estamos robando), por lo que:

P₁₆ (robar 2 tierras) = 24/40 x 23/39 x 22/38 x 21/37 x 20/36 x16/35 x 15/34 x 21 = 27,4%

P₁₇ (robar 2 tierras) = 23/40 x 22/39 x 21/38 x 20/37 x 19/36 x 17/35 x 16/34 x 21 = 24,5%

P₁₈ (robar 2 tierras) = 22/40 x 21/39 x 20/38 x 19/37 x 18/36 x 18/35 x 17/34 x 21 = 21,6%

Y con el mismo razonamiento que antes, la probabilidad de robar al menos tres tierras es la probabilidad complementaria de robar 0 ó 1 ó 2, para obtener:

P₁₆ (al menos 3 tierras) = 1 – P(robar dos o una o ninguna) = 1 – (1,8 + 11,6 + 27,4) = 59,2%

P₁₇ (al menos 3 tierras) = 1 – P(robar dos o una o ninguna) = 1 – (1,3 + 9,2 + 24,5) = 65,0%

P₁₈ (al menos 3 tierras) = 1 – P(robar dos o una o ninguna) = 1 – (0,9 + 7,2 + 21,6) = 70,3%

Es decir, con 16 tierras 6 de cada 10 veces robaremos 3, 4, 5, 6 ó 7. Con 17 tierras será el 65% de la veces y con 18 tierras 7 de cada 10 veces robaremos al menos 3.

No voy a seguir torturando vuestras inquietas mentes (si es que alguien me sigue todavía o al menos no estáis durmiendo), pero se continúa el análisis con 3 tierras, 4 tierras, 5 tierras, ….. 7 tierras. Os voy a poner un cuadro resumen con todos los porcentajes y de aquí sacaremos cual es la conclusión más aplastante de todo este tema.

40 cartas	0 tierra	Al menos 1 tierra	1 tierra	Al menos 2 tierras	2 tierras	Al menos 3 tierras	3 tierras	Al menos 4 tierras	4 tierras	Al menos 5 tierras	5 tierras	Al menos 6 tierras	6 tierras	7 tierras
16 tierras	1,8	98,2	11,6	86,6	27,4	59,2	31,9	27,3	19,8	7,5	6,5	1	1	0
17 tierras	1,3	98,7	9,2	89,5	24,5	65	32,3	32,7	22,6	10,1	8,4	1,7	1,6	0,1
18 tierras	0,9	99,1	7,2	91,9	21,6	70,3	32,0	38,3	25,2	13,2	10,6	2,5	2,3	0,2

Observad que con un mazo de 40 cartas y 17 tierras, la probabilidad de robarnos justo 3 tierras es del 32,3%, y es la mayor de todas. Es decir, es máxima para 17 tierras. Con lo cual:

Conclusión nº 3: La probabilidad máxima de robarnos justo tres tierras en un mazo de 40 cartas se obtiene al meter 17 tierras.

Corolario a la conclusión nº 3: Si quieres tener las menores probabilidades de “floodearte” (o robarte todas las tierras del mazo) y además no quieres quedarte seco y además quieres jugar tierras los tres primeros turnos del juego, el número mágico de tierras es de 17.

Conclusión nº 4: La probabilidad mayor de robarnos al menos 4 tierras se obtiene con 18 tierras frente a 16 o 17.

Corolario a la conclusión nº 4: Para mazos que jueguen hechizos de costes altos o que necesiten jugar tierras en los cuatro o cinco primeros turnos, estilo control, será más interesante utilizar 18 tierras.

Mientras que para los mazos que jueguen hechizos de bajos costes y que quieran jugar pocas tierras y muchos hechizos al principio de la partida, estilo agresivo, será mejor utilizar 16 tierras.

El problema de los colores y de los productores

No sería justo despedirme sin hacer énfasis en el asunto de los colores. Es mucho más complicado hacer este análisis juzgando los colores que producen las tierras. Los resultados obtenidos son absolutamente correctos para un mazo de 40 cartas monocolor. Y sería igual de bueno para un mazo pentacolor con 17 ciudades de bronce. Ahora bien, la problemática de Alara de los fragmentos tricolores es otro cantar y Rodrigo nos contará algo en un artículo posterior a éste. (Si podéis añadid el link aquí a posteriori). Lo que sí se puede decir es que si jugamos 18 tierras, 3 de cada de un color, el análisis vale igual considerando que el robo de cualquiera de las tierras sigue la distribución normal de la probabilidad y que si robas tres tierras lo normal sería robar una de cada (al menos la probabilidad más alta sería ésta).

Por otro lado, los productores de maná pueden ayudarnos a bajar un poco el ratio de tierras. Pero yo no lo bajaría al menos que tuviera dos de turno uno o dos (tipo elfos de llanowar o druida devoto o druida del ánima) por una tierra. Esto es si tengo dos productores de turno uno o dos, juego 16 tierras en vez de 17, o 17 en vez de 18. Pero menos de 16, me suena a sequía y como la serie de televisión “Sin tierras, no hay ave del paraíso”.

Hasta pronto. Feliz año a tod@s ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡